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電気回路CAD演習


問題1

図のようなRCフィルタ回路の周波数特性を求めよ。 V1に基準の正弦波を与えたときの、C1の両端電圧を求める。 周波数は10Hz‾100kHzとする。

circuit diagram

微分方程式を使って解く

キルヒホッフの法則
V1 = VR1 + VC1 -(1)
Vm・sinωt = i・R1 + (1/C1)idt
-(2)

(2)の両辺を微分
Vm・ωcosωt = R1di/dt + (1/C1)・i -(3)

ここで回路電流 i を次のように置く
i = A・sinωt + B・cosωt -(4)
時間 t で微分すると
di/dt = A・ωcosωt - B・ωsinωt -(5)
(4)と(5)を(3)に代入
Vm・ωcosωt = R1・(A・ωcosωt - B・ωsinωt) + (1/C1)・(A・sinωt + B・cosωt) -(6)
ω で割って
Vm・cosωt = R1・(A・cosωt - B・sinωt) + (1/ωC1)・(A・sinωt + B・cosωt) -(7)

sincos を分離
0 = -R1・B・sinωt + (1/ωC1)・A・sinωt -(8)
Vm・cosωt = R1・A・cosωt + (1/ωC1)・B・cosωt -(9)

(8),(9)がすべての t で成り立つには
(1/ωC1)・A - R1・B = 0 -(10)
R1・A + (1/ωC1)・B = Vm -(11)

A, B についての連立方程式(10),(11)を解いて
A = Vm・R1/{R12 + (1/ωC1)2} -(12)
B = Vm・(1/ωC1)/{R12 + (1/ωC1)2} -(13)

よって
i = Vm/{R12 + (1/ωC1)2}・(sinωt + θ) -(14)
VC1 = Vm・(1/ωC1)/{R12 + (1/ωC1)2}・(cosωt + θ) -(15)
θ = tan-1(ωC1・R1) -(16)
以上(周波数を変化させての計算は省略)

クイズ

上記一連の解法の中で一ヶ所間違いがある。それはどこか?


(初出: 20 Sep 2011)

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